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미분 N계 도함수 구하기, 3차함수 그래프 그리기; 매스매티카 Mathematica Derivative 예제

Tuesday, March 18, 2008

매스매티카 프로그램에서, 함수를 미분하여 도함수를 구하고, 그 도함수 그래프를 그리는 예제입니다.

4차함수를 미분하면 3차함수가 되고, 3차함수를 미분하면 2차함수가 되고, 2차함수를 미분하면 1차함수가 됩니다.

1차함수를 미분하면 "상수 함수(Constant Function)"가 되어 무엇을 입력하든 항상 같은 값이 나오는 함수가 됩니다. 아래 예제의 상수 함수의 경우는 항상 6이 나옵니다. 상수함수를 미분하면 도함수는 0 이 되고, 0 을 미분하면 계속 0 이 나옵니다.

N계 도함수에서, N 은 프라임(') 기호의 개수에 해당합니다. 예를 들어 2계 도함수란, 미분을 2번했다는, 즉, "도함수를 또다시 미분했다"는 뜻입니다.

아래 그래프에서 파란색 그래프는
f(x) = x3
인 가장 간단한 3차함수의 그래프입니다. 매스매티카에서는 제곱을 캐럿(^) 기호로 표현합니다.

빨간색 그래프는 위의 3차함수의 도함수인 f'[x]의 그래프이고, 연두색 그래프는 f''[x]이고, 회색은 상수함수인 f'''[x] 입니다. 상수함수는, 기울기가 항상 0 이기에 수평선으로 되어 있습니다. 기울기가 0 이라면 미분을 해도 계속 0 입니다.

클릭하면확대
3차함수 미분 도함수 그래프
함수 미분하여 N계 도함수 그래프 그리기

매스매티카에서 함수를 입력할 때에는 소괄호()가 아닌 대괄호[]를 사용해야만 합니다. 그리고 도함수의 프라임 기호는 작은따옴표 즉 아포스트로피 기호를 사용하면 됩니다.

' 이것은 프라임(Prime)
'' 이것은 더블 프라임(Double Prime)
''' 이것은 트리플 프라임(Triple Prime)이라고 발음합니다. "플라임"이 아닙니다.


매스매티카 노트북에 아래 소스를 1줄씩 또는 한꺼번에 입력하면, 도함수를 구하고 그래프를 그릴 수 있습니다. 알파벳 대소문자를 엄격히 구분합니다. (* *) 이 속에 있는 문자열은 매스매티카의 주석문이기에 입력하지 않아도 됩니다. 키패드의 Enter 키를 눌러야 실행이 됩니다.

(* f(x)를 간단한 3차 함수로 정의 *)
f[x_] := x^3


(* 도함수 구하기: 결과는 2차 함수 *)
f'[x]
(* 또는 *)
D[f[x], x]


(* 제2계 도함수 구하기: 결과는 1차 함수*)
f''[x]
(* 또는 *)
D[f[x], {x, 2}]


(* 제3계 도함수 구하기: 결과는 상수 함수 *)
f'''[x]
(* 또는 *)
D[f[x], {x, 3}]
(* 6 이 나오는데 이것은 1차함수의 기울기가 6 이라는 뜻입니다. *)
(* f''''[x] 부터는 계속 0 이 나옵니다. *)


(* 미분 도함수 그래프 그리기*)
Plot[{f[x], f'[x], f''[x], f'''[x]}, {x, -3, 3}, AspectRatio -> 1, PlotStyle -> {Blue, Red, Green, LightGray}]




함수 입력법 설명: ▶▶ 2차 방정식 풀기, 근 해 구하기, 그래프 그리기; 매스매티카 Mathematica Solve, Quadratic Equation

접선 그리기: ▶▶ 미분 접선 기울기 그래프, 미분계수 구하기, 미분 개념; 매스매티카 Mathematica Tangent Line Slope Graph

접선 연속 이미지 보기: ▶▶ 속도 미분 가속도 그래프, 접선 개념, 연속 이미지; Acceleration Derivative Graph

사인 코사인 탄젠트 도함수 그래프
▶▶ 삼각함수 미분 도함수 그래프, 사인 코사인 탄젠트 미분하기; Derivative Sin Cos Tan


적분 구하기, 정적분 부정적분 그래프 그리기: ▶▶ 적분 정적분 부정적분 구하기, 그래프 그리기; 매스매티카 Mathematica Integrate, Integral



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