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미분 접선 기울기 그래프, 미분계수 구하기, 미분 개념; 매스매티카 Mathematica Tangent Line Slope Graph

Sunday, March 23, 2008

매스매티카 프로그램에서, 미분 그래프를 그린 후, 접선까지 그리는 예제입니다. 미분계수(Differential Coefficient)도 구합니다.

미분이란, 어떤 함수의 변화량 즉, 곡선의 기울기(Slope) 구하기입니다. 그래프 곡선을, 유원지에 있는 청룡열차(롤러코스트)라고 생각하면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 선이 함수 f(x)입니다. 그 함수의 곡선 여기저기에 작대기를 찰싹찰싹 갖다붙이면 그 작대기에 당연히 기울기가 발생할 것입니다. 그 작대기를 접선(탄젠트 라인; Tangent Line)이라고 합니다. 특정 지점의 작대기의 기울기를 미분계수라고 합니다. 예를 들어 아래 함수에서 x값이 3일 때에는 접선의 기울기가 "-1.2"입니다. 이 경우 "-1.2"가 미분계수입니다.

특정 지점이 아닌, 모든 구역에서의 접선 기울기를 모으면, 별도의 함수 f'(x) 를 새롭게 만들 수 있습니다. 그 f'(x)를 "도함수"라고 합니다. 아래의 빨간 선이 도함수 그래프입니다. 도함수를 구하거나 미분계수를 구하는 것을 미분이라고 합니다.

즉, 도함수란 원래의 함수의 기울기 정보만을 따로 모아서 별도의 함수로 만들어 놓은 것입니다. 그리고 미분계수란, 전체 구간이 아니라, 특정 지점에서의 순간적인 기울기입니다.

클릭하면확대
미분 접선 그래프, Differential Coefficient
(※ 키보드의 Shift키를 누르며, 위의 그림을 클릭하면 새창으로 뜹니다.)
함수 f(x)에 접선 기울기 표시

위의 그림에서는, x = 3 일 때의 접선이 갈색의 비스듬한 직선으로 그려져 있습니다. "Slope of the Tangent Line"이라고 된 길쭉한 사선입니다. 접선 자체보다도 접선의 기울기가 중요합니다. 매스매티카에서 f'[3] 이라고 하면, "-(5분의 6)"이 나오는데

f'[3] // N
이렇게 하면 -1.2 라는 소수로 나옵니다. 따라서 접선의 기울기 즉 미분계수가 -1.2 입니다. 빨간색 도함수 그래프에서 x = 3 인 지점의 Y축 값 역시도 -1.2 입니다.

물론, 빨간색 도함수인 f'(x)의 그래프를 다시 미분할 수도 있습니다. 위의 그림에는 없지만, 그러면 f''(x) 라는 2계 도함수가 만들어집니다. 도함수의 도함수인 것입니다.

파란색 그래프를 산과 골짜기에 비유하면, 산꼭대기와 계곡 밑바닥에서는 접선이 완전한 수평선이 되고 기울기는 0 이 됩니다. 이때 빨간색 도함수 그래프는 Y값이 0 이 되어, X축과 교차됩니다. 위의 연두색 수직선을 보면 알 수 있습니다.


함수 그래프에 접선 붙이기, 매스매티카 예제 소스 코드:

아래 소스에서는 x의 특정 지점의 값을 a 가 아니라 x0 로 표현했습니다. 또한 3 을 대입했습니다.

xmin, xmax 는 그래프를 그릴 x의 범위입니다.
f[x_] := -(x - 1) (x - 3) (x - 6) (x - 9) / 30 + 2;
xmin = 0; xmax = 10; x0 = 3;

f'[x0]

Show[
     Plot[Tooltip[f[x], "f(x)"], {x, xmin, xmax}, PlotStyle -> Blue], Graphics[ Tooltip[Point[{x0, f[x0]}], x0]],
     Plot[Tooltip[f'[x], "f'(x)"], {x, xmin, xmax}, PlotStyle -> Red], Graphics[ Tooltip[Point[{x0, f'[x0]}], x0]],
     Plot[Tooltip[f'[x0] (x - x0) + f[x0], f'[x0] // N], {x, xmin, xmax}, PlotStyle -> Brown]
 ]


접선 연속 이미지 보기: ▶▶ 속도 미분 가속도 그래프, 접선 개념, 연속 이미지; Acceleration Derivative Graph

N계 도함수 그래프 그리기: ▶▶ 미분 N계 도함수 구하기, 3차함수 그래프 그리기; 매스매티카 Mathematica Derivative 예제



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