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속도 미분 가속도 그래프, 접선 개념, 연속 이미지; Acceleration Derivative Graph

Monday, March 24, 2008

아래의 미분 그래프는, 파란색의 f(x) 함수의 곡선에 여러 개의 갈색 접선을 붙인 후, 핑크색의 미분계수를 구하고, 빨간색의 도함수 그래프를 그린 것입니다.

아래의 그래프에서, 파란색 그래프 곡선에 붙어 있는 갈색의 짧은 선들이 접선(Tangent Line)입니다. 이것은 x 가 특정 값일 때의 순간적인 기울기입니다. 그래프의 곡선에 직선을 살짝 갖다댄 것이라고 보면 이해하기 쉽습니다. 접선의 길이는 의미가 없고 기울기만 보면 됩니다. 접선 즉 접선의 기울기는 x 값을 아주 미세하게 증가시켜서 구합니다. x의 값을 "0에 가까운 아주 작은 값"만큼 조금 증가시키면, x값이 2개가 되니까, 그래프 상에 점이 2개 나올 것이고, 그 점 2개를 연결하면 접선이 됩니다.

파란색 그래프인 f(x)를 "속도 그래프"라고 볼 때, 속도를 미분하면 가속도가 되기에, 빨간색 도함수인 f'(x)는 가속도 그래프가 됩니다. (위치를 미분하면 속도가 되고, 속도를 미분하면 가속도가 됩니다.)

클릭하면확대
미분 도함수, 접선 기울기 그래프
(※ 키보드의 Shift키를 누르며, 위의 그림을 클릭하면 새창으로 뜹니다.)
미분 접선 기울기 그래프

x=1 일 때에는 속도가 증가하고 있어서 미분계수(Differential Coefficient)가 양수 2.6...이긴 하지만, 속도의 증가폭이 약간씩 줄어들고 있는 상태이기에, 빨간색 도함수 그래프가 아래로 계속 쳐지고 있습니다.

x=1.8...일 때, 즉 산꼭대기에서는, 속도의 증가가 0 이 되었기에, 접선 기울기가 완전한 수평선이 되었고, 그래서 미분계수가 0입니다.

x=3 을 지나서는, 감소폭이 줄어듭니다.

x=6에서는 속도가 증가하기에, 미분계수(접선의 기울기)도 양수가 되었습니다.

x=7.1에서는 다시 속도의 증가폭이 조금씩 둔화되고 있습니다. 그래서 도함수도 고개를 넘어 기울어 가고 있습니다.

x=9에서는 속도가 아주 급격히 감소하기에, 빨간색 도함수 그래프도 급격히 계속 떨어지고 있습니다. 운전자가 브레이크를 밟았나 봅니다.


위의 그래프는 매스매티카 프로그램으로 작성하여 포토샵으로 합성한 것입니다.


도함수 구하기 ▶▶ 미분 N계 도함수 구하기, 3차함수 그래프 그리기; 매스매티카 Mathematica Derivative 예제



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